考研数学：令人头大的相似、合同、等价

　　摘要：考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀，就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚，得分才不难。接下来一起看看三者的纠缠吧。

　　关于矩阵的相似、合同、等价的关系

　　总结起来就是一句话

　　相似必合同，合同必等价

　　（反之，则不一定）

　　...........

　　背好这一句话基本可以应付70%的填空选择，至于剩下那30%，则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。

　　分割线卡通

　　一、等价的定义

　　两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为：

　　存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得B=PAQ

　　矩阵A与B等价必须具备的两个条件

　　(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)

　　(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ

　　矩阵等价的性质

　　(1)反身性:即A~=A

　　(2)对称性:若A~=B，则B~=A.

　　(3)传递性:若A~=B，B~=C，则A~=C.

　　(4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)

　　(5)设A为m*n矩阵，r(A)=r,则A等价于，即存在m阶可逆矩阵P,n阶可逆矩阵Q，使PAQ=

　　二、合同的定义

　　设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵p，使得P^TAP=B,

　　则称矩阵A、B为合同矩阵

　　矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件

　　(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵.

　　(2)存在n阶矩阵P:P^TAP=B

　　矩阵合同的性质

　　(1)反身性:任意矩阵A都与自身合同.

　　(2)对称性:如果B与A合同，那么A也与B合同.

　　(3)传递性:如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.

　　(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.

　　(5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵

　　(6)合同矩阵的秩相等

　　三、相似的定义

　　设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵).

　　矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件

　　(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵

　　(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=B

　　矩阵相似的性质

　　(1)反身性:即A~A

　　(2)对称性:若A~B，则B~A.

　　(3)传递性:若A~B，B~C，则A~C.

　　(4)若矩阵A、B相似，则r(A)=r(B)

　　(5)若矩阵A、B相似，则KA~KB

　　(6)若矩阵A、B相似，则A^m~B^m

　　(7)若矩阵A、B相似，f(x)是一个多项式，则f(A)~f(B)

　　注：

　　(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。

　　(2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

　　这里小编给大家整理成了表格的形式

　　关于相似必合同，合同必等价的关系证明

　　相似必等价，等价未必相似

　　证明：

　　那么在什么情况下，等价可以推出相似呢？

　　推论：

　　对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQ=B,(A与B等价)，且PQ=E(E为n阶单位矩阵)，则A与B相似.

　　这个大家就自行证明吧！

　　合同必等价，等价未必合同

　　证明：

　　什么时候等价矩阵是合同的？

　　?只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵

　　相似必合同，合同未必相似

　　这里相似必合同有一个条件：

　　例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=P^-1BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵

　　所以：正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵未必是相似矩阵

　　证明：

　　以上，就是对相似合同等价关系的总结了，掌握这些，应付考试，不在话下！

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