一、基本内容
1、函数与极限
(1)函数
掌握函数的定义,函数的表示法,函数的运算、复合,会求给定函数的反函数,熟悉初等函数的性质,熟悉有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数的性质。对一元函数,了解平面曲线与函数的联系与区别。
(2)数列极限
掌握数列极限的定义,可用语言证明数列极限的存在性,不存在性,能求给定数列的极限,熟悉收敛数列的性质和数列极限存在的条件。
(3)函数极限
熟悉各种极限定义,可用语言证明数列极限的存在性,熟悉函数极限的性质和存在条件,明确无穷小量和无穷大量阶的比较。会求给定函数极限。
(4)实数集和实数完备性
熟悉几个重要的实数集,掌握实数集上下确界概念。掌握实数完备性的几个基本定理,熟悉其证明和应用。
(5)函数的连续性
熟悉函数连续的定义,函数间断点的分类,掌握连续函数的性质。掌握一致连续的概念,能够证明和函数连续性有关的命题。
2、一元函数微分学
(1)导数
熟悉导数、左右导数、高阶导数概念,明确导数的几何意义,了解导函数的性质,掌握求导法则,会求初等函数、分段函数、参数方程决定函数和隐函数的导数、高阶导数。明确可导与连续的关系,能正确讨论函数的连续性、可导性。
(2)微分
掌握微分、高阶微分定义,微分的运算法则,求微分和高阶微分的方法。会利用微分进行近似计算。
(3)中值定理与泰勒公式
掌握费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,并能利用这些定理证明命题,证明不等式。熟悉几种类型的泰勒公式,注意泰勒公式与泰勒级数的联系与区别。熟悉基本初等函数的泰勒公式,会将给定函数用泰勒公式表示。能用泰勒公式进行近似计算。
(4)函数作图
掌握函数驻点、拐点、极值、最大最小值、渐近线的求法,熟悉函数单调性、凸性的讨论,能熟练进行函数作图。
3、一元函数积分学
(1)不定积分
掌握原函数和不定积分概念,熟练掌握求函数不定积分的方法。
(2)定积分
熟悉定积分的定义、可积的必要条件和充分条件、常用可积函数类、定积分的性质、定积分的计算。熟练掌握微积分学基本定理,会求积分限为变量的函数极限、导数。掌握无穷限积分和无界函数积分的收敛判别法、绝对收敛判别法,明确定积分与非正常积分性质方面的同异。
会用定积分求平面图形的面积、立体体积、曲线的弧长、曲率。熟悉微元法。
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