【摘要】在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的导数与微分定理定义汇总。考研帮携手2016大纲解析人第一时间解读大纲，
▶导数与微分
1、导数存在的充分必要条件
●函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限
lim（h-0）[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim（h+0）[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-(x0)右导数f+(x0)存在相等。
2、函数f(x)在点x0处可导=函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数f(x)在点x0处可微=函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
▶中值定理与导数的应用
1、定理（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间（a,b）内至少有一点b），使的函数f(x)在该点的导数等于零：f)=0。
2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么在开区间（a,b）内至少有一点b），使的等式f(b)-f(a)=f)（b-a）成立即f)=[f(b)-f(a)]/（b-a）。
3、定理（柯西中值定理）如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且F(x)在（a,b）内的每一点处均不为零，那么在开区间（a,b）内至少有一点，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f)/F)成立。
4、洛必达法则应用条件
只能用与未定型诸如0/0、/、0、-、00、1、0等形式。
5、函数单调性的判定法
●设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么：
（1）如果在（a,b）内f(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调增加；
（2）如果在（a,b）内f(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调减少。
●如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值
●如果函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x0是（a,b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值；如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
●在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为0的点），但函数的驻点却不一定是极值点。
●定理（函数取得极值的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f(x0)=0。
●定理（函数取得极值的第一种充分条件）设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f(x0)=0，那么：
（1）如果当x取x0左侧临近的值时，f(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；
（2）如果当x取x0左侧临近的值时，f(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；
（3）如果当x取x0左右两侧临近的值时，f(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。
●定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f(x0)=0，f(x0)0那么：
（1）当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极大值；
（2）当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值；
●驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定
设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]
[f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
●定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在（a,b）内f(x)0，则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凹的；
（2）若在（a,b）内f(x)0，则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凸的。
●判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤
（1）求出f(x)；
（2）令f(x)=0，解出这方程在区间（a,b）内的实根；
（3）对于（2）中解出的每一个实根x0，检查f(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0，f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0，f(x0)）不是拐点。
●在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
（实习编辑：赵峰）
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